[확률및통계] 확률변수의 정의

본 게시물의 내용은 '확률 및 통계(이상화 교수님)' 강의를 듣고 작성하였다.

 

1. Definition of RV(Random Variables, 확률변수)

Sample space에 w1. w2, ... 가 있을 때, 각각이 적어도 1개의 real number를 반드시 대응한다.

X(w) → x 여기서 x에 해당하는 값을 확률변수(Random Variables)이라 한다.

 

- RV : real numbers, mapping each outcome of random experiment to a real value → x = X(w)

 

Probability → 숫자의 개념으로 즉, function 으로 다루자

P(A) → P(x)

 

ex) tossing a coin

동전을 던지는 경우, 앞면(H), 뒷면(T)가 나온다.

앞면이 나오는 경우 H=1, 뒷면이 나오는 경우 T=0으로 지정해주면 1, 0이 확률변수가 된다.

P(H) = P(1) = 1/2

P(T) = P(0) = 1/2

 

ex) tossing two coins

RV : # of heads (2개의 동전을 던졌을때 head가 몇번 나오는지를 RV로 지정)

0 = {TT},  P(0) = P({TT}) = 1/4

1 = {HT, TH}, P(1) = P({HT, TH}) = 1/2

2 = {HH}, P(2) = P({HH}) = 1/4

 

RV를 수식으로 정의

by the conventional notation, RV : X, Y, Z ...

a specific(fixed) value of X : x, y, z 

 

 

2. Event Defined by RV

Let \(A_x\) be  an event

\(A_x = {w | X(w) = x}\)

\(A_0 = {TT}\)

\(A_1 = {HT, TH} → P(A_1) = P(1)\)

\(P(A_x) = P_x(X=x)\) 

 

함수의 형태인 P()로 표현한다!

P(a＜X ≤ b) = P(A)

A = {w | a＜X(w) ≤ b}

 

ex) P(X≤1) = P({TT, HT, TH}) = 3/4 → Fx(1)=3/4 (아래 3번에서 설명)

 

* 결론 : Sample space와 Random experiment가 무엇인지 규정하지 않고 함수처럼 다루게 됨.

 

 

3. Distribution Functions

for an RV X, a real value x

- Cumulative Distribution Function (CDF, 누적분포함수)

Fx(x) = P(X≤x)로 정의한다. 일종의 누적확률이다.

≫ Fx(x)는 non-dscreasing이다. 즉 감소하지 않는다. (증가하거나, 상태를 유지한다.)

→ 그래프로 그리면 계단모양으로, step function이라고도 부른다.

 

1) if \(x_1 < x_2 → F_x(x_1) ≤ F_x(x_2)\)

equality 는 P(x_1 < X ≤ x_2)=0 일 때 발생한다.

2) \(0 ≤ F_x(x) ≤ 1\)

3) \(F_x(\infty) = \lim_{x \to \infty}F_x(x) = 1\)

4) \(F_x(-\infty) = \lim_{x \to -\infty}F_x(x) = 0\)

5) P(a＜X ≤ b) = \(F_x(b)-F_x(a)\)

6) P(X＞a) = 1-\(F_x(a)\)

 

 

ex)

\(P(X>\frac{1}{4})와 P(X≥\frac{1}{4}) 가\ 같기때문에\)

 

4. Discrete RV

Discrete : 연속적이지 않은, non-continuous

→ 주로 integer(정수값)을 다룬다.

 

- Probability mass function (Pmf, 확률질량함수)

Px(x)=Prob(X=x)

\(F_x(x)=P(X≤x) = \sum_{x_i≤x}P_x(x_i)\)

 

ex) 2 coins tossing

RV : # of heads

0 → P_x(0) = 1/4

1 → P_x(1) = 1/2

2 → P_x(2) = 1/4

Fx(1) = P(X≤1) = Px(0)+Px(1) = 3/4

 

x가 0이고 높이가 1이면, δ(x)라고 한다.

x가 1이고 높이가 1/2이면, 1/2δ(x-1) -> 1만큼 평행이동

x가 -2이고 높이가 3/2이면, 3/2δ(x+2)f(x)=3/2δ(x+2)+δ(x)+1/2δ(x-1)

 

ex) 

 

델타로 표현 - 위의 P(x)와 같은 의미이다.

CDF로 표현했을때