[확률및통계] 독립사건과 확률

본 게시물의 내용은 '확률 및 통계(이상화 교수님)' 강의를 듣고 작성하였다.

 

 

1. Combinatorial Analysis

: 순열, 조합 등 경우의 수를 구하는 것을 말한다.

 

1) Permutation (순열)

=> line arrangement(order) of n different objects : 서로 다른 n개를 순서를 고려하여 하나로 나열하는 것.

서로 다른 n개를 순서를 고려해서 나열하는 방법 : n!

 * 0! = 1 : 아무것도 나열하지 않는 방법 1가지

 

=> r out of n objects (n≥r) : n개 중에 r개를 뽑아서 나열하는 것.

서로 다른 n개 중에 r개를 뽑아서 나열하는 방법 : nPr

- Group Permutation

\(n = n_1 + n_2 + ... + n_k\)

ex) 총 10개의 공이 있다. 빨간공 5개, 흰공 3개, 파란공 2개가 있을 때, 나열하는 경우의 수는?

\(10 = (R=5) + (W=3) + (B=2)\)

- Circular Permutation

순서가 하나씩 shift가 되도 동일하기 때문에 동일한 n개를 뺀다.

 

5개 마다 반복이 되므로 x5를 해준다.

 

2) Combination (조합)

=> Select r objects out of n ones : 서로 다른 n개에서 r개를 뽑아내는 것.

ex) n명의 남자와 m명의 여자 중에 r명을 (중복되는 경우없이) 뽑을 때의 경우의 수는?

r<n, r<m

 

 

3) Binomial Theorem (이항정리)

 

ex)

짝수번째 합과 홀수번째 합이 \(2^{n-1}\)로 반반씩 나눠짐

 

아래의 이항분포를 유도할 때 필요함

이항분포

 

 

ex)

4) Stirling's formula (스털링 근사)

n!의 연산을 수행하는데, n 값이 커지면 계산하기 복잡해진다. 그래서 실제 계산값과 approximate 식에서 얻은 계산값의 차이가 얼마되지 않고, 생각보다 빠르게 연산 할 수 있다.

아래의 그래프에서 실제 n!은 초록색 선인데, approximate한 값은 빨간색 선이다.

그림을 보면, 초반에 10보다 작을때는 차이가 크다가, 나중에는 거의 똑같다!

실제적인 큰 값으로 비교해보면 오차는 상당히 비율이 작다.

n!를 스털링 근사한 값

 

 

 

2. Reliability (신뢰도)

=> duration of useful funtioning of system : 어떤 시스템이 유용하게 제대로 동작하는 기간.

R(t) = probability that a system will be functioning at time t

(시작하는 시점부터 t라는 시간까지 시스템이 유용하게 잘 동작할 확률)

 

* Series Connection

Case1. 직렬연결) 어떤 시스템에 모듈 C1, C2, ... , Cn 이 있다. 이 모듈들은 꼬리를 물듯이 연결된다(직렬연결)

여기서 C1이라는 모듈이 고장났다고 해서, C2라는 시스템이 영향을 받아서 고장나지 않는다.

→ 서로간에 independent 하다. 즉, assume that all modules are independent

 

 

Case2. 병렬연결)

R(t) = At least 1 module functioning : (적어도 1개만 동작하면 된다.)

그러므로, 1에서 동작하지 않을 확률을 빼면 된다.

 

 

ex) 

 

- C3가 동작하는지, 안하는지에 따른 connection 2가지